Question

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为4元/千克时，每日可销售出该商品5千克；销售价格为4.5元/千克时，每日可销售出该商品2.35千克.

（1）求的解析式；

（2）若该商品的成本为2元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

Answer

（1）；（2）时.

【解析】

试题分析：本题考查函数的解析式和函数的最值，考查学生利用求导研究函数最值的解题能力和构造函数思想的应用.第一问，利用已知的2个特殊点确定解析式；第二问，根据题意构造函数，利用导数判断函数的单调性求函数的最值.

试题解析：（1）由题意，，联立（1）（2）解得，故                4分

（2）商场每日销售该商品所获得的利润为

            6分

                9分

列表得的变化情况：

3

+

0

-

↗

极大值16

↘

       11分

由上表可得，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点.  12分

所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于16.当销售价格为3元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.                  14分

考点：1.利用特殊点求函数解析式；2.利用导数求函数最值.