Question

已知函数

（1）计算的值，据此提出一个猜想，并予以证明；

（2）证明：除点（2,2）外，函数的图像均在直线的下方.

Answer

（1），，猜想详见解析；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题考查求函数值和函数最值、函数的对称性等基础知识，考查学生的转化能力、分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，直接代入求函数值，通过2组数的规律得到猜想，利用对称关系证明结论；第二问，先求出函数的定义域，利用单调性的定义判断函数的单调性，求最值，将原结论转化为求最值问题.

试题解析： （1）∵

∴；

猜想：的图象关于对称，下面证明猜想的正确性；

∵

∴的图象关于对称

（2）∵的定义域为，由（1）知的图象关于对称

设 

∴

∵   ∴    

又

∴   

∴为上的增函数，由对称性知在上为减函数，

∴

∴的图象除点外均在直线的下方.

考点：1.证明函数的对称性；2.函数单调性的定义.