Question

某校内有一块以为圆心，（为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售.已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元.

（1）设（单位：弧度），用表示弓形的面积；

（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计的大小才能使总利润最大？并求出该最大值.

（参考公式：扇形面积公式，表示扇形的弧长）

Answer

（1）；（2）当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值.

【解析】

试题分析：本题考查函数与导数及运用导数求单调区间、最值等数学知识和方法，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力.第一问，；第二问，先列出总利润的表达式，构造函数，利用导数判断单调区间求函数最值.

试题解析：（1），, . 

（2）设总利润为元，种植草皮利润为元，种植花卉利润为，种植学校观赏植物成本为

，，,

 .

设  .

上为减函数；

上为增函数.

当时，取到最小值,

此时总利润最大：.

答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值。

考点：1.扇形面积；2.弓形面积；3.三角形面积；4.利用导数求最值.