Question

如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边.

（1）设，求三角形铁皮的面积；

（2）求剪下的铁皮三角形的面积的最大值.

Answer

（1）三角形铁皮的面积为；（2）剪下的铁皮三角形的面积的最大值为.

【解析】

试题分析：（1）利用锐角三角函数求出和的长度，然后以为底边、以为高，利用三角形面积公式求出三角形的面积；（2）设，以锐角为自变量将和的长度表示出来，并利用面积公式求出三角形的面积的表达式，利用与之间的关系，令将三角形的面积的表达式表示为以为自变量的二次函数，利用二次函数的单调性求出三角形的面积的最大值，但是要注意自变量的取值范围作为新函数的定义域.

试题解析：（1）由题意知，

，

，

，即三角形铁皮的面积为；

（2）设，则，，

，

，

令，由于，所以，

则有，所以，

且，所以，

故，

而函数在区间上单调递增，

故当时，取最大值，即，

即剪下的铁皮三角形的面积的最大值为.

考点：1.三角形的面积；2.三角函数的最值；3.二次函数的最值