Question

设函数.

（1）若，对一切恒成立，求的最大值；

（2）设，且、是曲线上任意两点，若对任意，直线的斜率恒大于常数，求的取值范围.

Answer

（1）的最大值为；（2）实数的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）当时，将不等式对一切恒成立等价转化为来处理，利用导数求处函数的最小值，进而建立有关参数的不等式进行求解，以便确定的最大值；（2）先根据题意得到，假设，得到，进而得到

，并构造新函数，利用函数在上为单调递增函数并结合基本不等式法求出的取值范围.

试题解析：（1）当时，不等式对一切恒成立，则有，

，令，解得，列表如下：

减

极小值

增

故函数在处取得极小值，亦即最小值，即，

则有，解得，即的最大值是；

（2）由题意知，不妨设，

则有，即，

令，则，这说明函数在上单调递增，

且，所以在上恒成立，

则有在在上恒成立，

当时，，则有，

即实数的取值范围是.

考点：1.不等式恒成立；2.基本不等式