Question

已知二次函数.

（1）若对任意、，且，都有，求证：关于的方程

有两个不相等的实数根且必有一个根属于；

（2）若关于的方程在上的根为，且，设函数的图象的对称轴方程为，求证：.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先构造新函数，利用证明方程

有两个不相等的实数根，然后利用存在定理证明方程必有一个根属于，即利用来证明；（2）将的代入方程得到的表达式，结合证明.

试题解析：（1）构造函数

，

由于函数为二次函数，所以，

对于二次函数而言，

，

若，则有且有，从而有，这与矛盾，

故，故方程有两个不相等，

由于，

，

所以，

由零点存在定理知，方程必有一个根属于；

（2）由题意知，化简得，

即，则有，，

由于，则，故，即.

考点：1.二次方程根的个数的判断；2.零点存在定理；3.二次函数图象的对称轴