Question

已知且，函数，，记.

（Ⅰ）求函数的定义域的表达式及其零点；

（Ⅱ）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）0；（Ⅱ）若，则，；若，则. 

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求函数的定义域，注意对数的真数为正，分数的分母为正，由，变为两个对数式相等，则两个真数等，便有解方程即得，注意有无增根；（Ⅱ）用分离系数法变成

，把对数式转换为指数式，利用函数的性质求解.

试题解析：（Ⅰ）（且）

 ，解得，所以函数的定义域为，

令，则……（*）方程变为

，，即，(3分)

解得，，

经检验是（*）的增根，所以方程（*）的解为，

所以函数的零点为.                                 (6分)

（Ⅱ）（）

 ，，

设，则函数在区间上是减函数，   (9分)

当时，此时，，所以，

①若，则，方程有解；

②若，则，方程有解.                       (12分)

考点：函数的零点，分类讨论.