Question

设函数.

（Ⅰ）证明：时，函数在上单调递增；

（Ⅱ）证明：.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）导数法，令，，再由得出，从而得出结论；（Ⅱ）用分析法证明，要证，只需证，接着

构造新函数，用导数法求解.

试题解析：（Ⅰ）证明：，则，，

∵，，

∴.                               (3分)

∴在单调递增      ∴，即，

从而在上单调递增；.                                   (7分)

（Ⅱ）证明：要证，

只需证，即，证明如下：

设，则，(9分)

已知当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

∴在上的最小值为，即，    (12分)

又由（Ⅰ），当且时，，

∴，即不等式恒成立. (14分)

考点：导数法求解函数的单调性，最值, 构造法.