Question

已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）是否存在正实数，使得：当时，不等式恒成立？请给出结论并说明理由.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求，利用辅助角公式，函数的性质求得；（Ⅱ）构造新函数，用导数法求解，需要对进行分类讨论；（Ⅲ）探索性问题，构造新函数，用导数法解题.

试题解析：（Ⅰ）由于，

所以.                 (2分)

当，即时，；

当，即时，.

所以的单调递增区间为，

单调递减区间为.                                                             (4分)

（Ⅱ）令，要使总成立，只需时.

对求导得，

令，则，()

所以在上为增函数，所以.                                                (6分)

对分类讨论：

① 当时，恒成立，所以在上为增函数，

所以，即恒成立；

② 当时，在上有实根，因为在上为增函数，

所以当时，，所以，不符合题意；

③ 当时，恒成立，所以在上为减函数，则，不符合题意.

综合①②③可得，所求的实数的取值范围是.                                                       (9分)

（Ⅲ）存在正实数使得当时，不等式恒成立.

理由如下：令，要使在上恒成立，只需.                                                                                                                                     (10分)

因为，且，，

所以存在正实数，使得，

当时，，在上单调递减，即当时，，

所以只需均满足：当时，恒成立.      (14分）  

注：因为，，所以

考点：导数法，构造法，函数的性质，恒成立问题.