Question

已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，，过点作函数图象的所有切线，令各切点得横坐标构成数列，求数列的所有项之和的值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用到导数法求解；（Ⅱ）构造新函数，用导数法求解；（Ⅲ）利用导数的几何意义求切线方程，将的坐标代入切线方程，求得，再利用两个函数的图像均关于点对称，它们交点的横坐标也关于对称成对出现.方程，的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列的项也关于对称成对出现，在内共构成1006对.

试题解析：（Ⅰ）由于，

所以.                           (2分)

当，即时，；

当，即时，.

所以的单调递增区间为，

单调递减区间为.                                                             (4分)

（Ⅱ）令，要使总成立，只需时.

对求导得，

令，则，()

所以在上为增函数，所以.                                                (6分)

对分类讨论：

① 当时，恒成立，所以在上为增函数，所以，即恒成立；

② 当时，在上有实根，因为在上为增函数，

所以当时，，所以，不符合题意；

③ 当时，恒成立，所以在上为减函数，则，不符合题意.

综合①②③可得，所求的实数的取值范围是.                                                       (9分)

         （Ⅲ）因为，所以，

设切点坐标为，则斜率为，

切线方程为，                        (11分)

将的坐标代入切线方程，得

，即，                                      

令，，则这两个函数的图像均关于点对称，它们交点的横坐标也关于对称成对出现，方程，的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列的项也关于对称成对出现，在内共构成1006对，每对的和为，因此数列的所有项的和.                                                                             (13分)

考点：函数、三角函数与导数的综合应用，用导数来描述函数的单调性、极值以及函数零点.