Question

已知函数，（）在处取得最小值.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若在处的切线方程为，求证：当时，曲线不可能在直线的下方；

（Ⅲ）若，（）且，试比较与的大小，并证明你的结论.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）导数法，先求导数，由条件，得出的值，再令或，判断函数的单调区间；（Ⅱ）导数法，构造新函数，再用导数法，证明在恒成立，从而得出结论；（Ⅲ）用导数的几何意义，得出直线方程，在用导数法证明.

试题解析：（Ⅰ），由已知得,           （3分）

当时，此时在单调递减，在单调递增,

（Ⅱ）,,在的切线方程为，

即.                                                   （6分）

当时，曲线不可能在直线的下方在恒成立，

令，,

当，，

即在恒成立，

所以当时，曲线不可能在直线的下方,                   （9分）

（Ⅲ）,

先求在处的切线方程，故在的切线方程为，即，

下先证明，

令

，

当，

.                                                 （14分）

考点：导数的运算法则，利用导数研究函数的极值，不等式的证明等知识.