Question

设函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，是否存在整数，使不等式恒成立？若存在，求整数的值；若不存在，请说明理由；

（3）关于的方程在上恰有两个相异实根，求实数的取值范围.

Answer

（1）函数的递增区间是；减区间是；

（2）存在整数，且当时，不等式在区间上恒成立；

（3）实数的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）先求出函数的定义域，然后求出导数，利用导数求出函数的增区间与减区间；（2）利用参数分离法将问题转化为与在区间上同时恒成立，求出的取值范围，最终确定整数的值；（3）构造新函数，并利用导数确定函数在区间上的单调性，利用极值与端点值的将问题“关于的方程在上恰有两个相异实根”进行等价转化，列出有关参数的不等式组，从而求出参数的取值范围.

试题解析：（1）由得函数的定义域为，

。                   2分

由得由

函数的递增区间是；减区间是；           4分

（2）由（1）知，在上递减，在上递增；

                            5分

又且

时，                  7分

不等式恒成立，

即

是整数，

存在整数，使不等式恒成立         9分

（3）由得

令则 

由

在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增              10分

方程在[0,2]上恰有两个相异实根

函数在和上各有一个零点，

实数m的取值范围是             14分

考点：1.函数的单调区间；2.函数不等式恒成立；3.函数的零点