Question

知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点.试问轴上是否存在异于的定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，.

【解析】

试题分析：（1）由离心率为可得到一个关于的方程，再根据MB1⊥MB2即可得；（2）本题采用“设而不求”的方法，将A，B两点坐标设出，但不求出.注意到平分，则直线的倾斜角互补这个性质,从而由斜率着手，以韦达定理为辅助工具，得出点P的坐标.

试题解析：（1）由得

又,知是等腰直角三角形，从而.

所以椭圆C的方程是.                                   5分

（2）设，直线AB的方程为

由得，

所以 ①，②                        8分

若平分，则直线的倾斜角互补，

所以

设，则有，                                  10分

将代入上式，整理得，

将①②代入得，由于上式对任意实数都成立，所以.

综上，存在定点，使平分PM平分∠APB.                        13分

考点：1.椭圆的简单几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.斜率公式.