Question

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数满足：

①对任意的，，当时，有成立；

②对恒成立.求实数的取值范围.

Answer

（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先对求导，分析出导函数是单调递增的，并得.从而得到时，，当时，.即求出函数的单调区间；（2）先由（1）中的单调区间知异号.再证明结论：当时，对任意的有成立；时，对任意的有成立.从而得出当时，有成立.然后在的范围内研究对恒成立问题.通过在求的最值，再由最大值与最小值的差要小于或等于从而得到实数的取值范围.

试题解析：（1），

令，则，从而在上单调递增，即在内单调递增，又，

所以当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增.               4分

（2）①由（1）可知，当， 时，必异号，不妨设，. 我们先证明一个结论：当时，对任意的有成立；时，对任意的有成立.

事实上，    

构造函数，

，(当且仅当时等号成立).又

当时，，所以在上是单调递减，此时，对任意的有成立.当时，，所以在上是单调递增，此时对任意的有成立；

当时，，由于在上单调递减，所以，.同理，.

当时，当且仅当时，有成立.          8分

②时，由（1）可得，

又

构造函数，所以在上单调递增，又所以，当时，即，

所以.

因为,若要题设中的不等式恒成立，只需成立即可.

构造函数,所以在上递增. 又所以，由得,                  12分

又所以,  因此的取值范围为.                  13分

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.函数的最值；3.常见函数的求导法则.