Question

已知函数是奇函数，并且函数的图像经过点（1，3），（1）求实数的值；（2）求函数的值域.

Answer

（1）；  （2）函数的值域为

【解析】

试题分析：（1）由奇函数的定义可知，结合解析式可求，又由函数的图像经过点（1，3），代入解析式可求得得；（2）由（1）知，从而可由分类讨论的思想，分和两种情况对函数的值域进行讨论，利用基本不等式可得函数的值域为.本题注意分类讨论的思想方法的应用，易错点是基本不等式运用时的条件容易忽略.

试题解析：（1）函数是奇函数，则

   （3分）

又函数的图像经过点（1，3），

∴a=2     （6分）

（2）由（1）知   （7分）

当时，当且仅当

即时取等号 （10分）

当时，

当且仅当即时取等号     （11分）

综上可知函数的值域为    （12分）

考点：1.函数解析式的求法；2.函数的值域的求法；3.基本不等式的应用