Question

如图所示，平面，四边形为正方形，且，分别是线段的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求三棱锥与四棱锥的体积比.

Answer

（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）三棱锥与四棱锥的体积比

【解析】

试题分析：（Ⅰ）通过证明,,从而有,然后由直线和平面平行的判定定理可得平面；（Ⅱ）利用直线和平面垂直的性质定理可得AE⊥DH，再证DH⊥AG，由直线和平面垂直的判定定理可得平面；（Ⅲ）由已知可得，，所以，此问注意直线和平面关系的运用和体积的转化.

试题解析：（Ⅰ）分别为中点，所以AD∥EF，∵BC∥AD, ,∴BC∥EF．．．．2分

∥平面EFG．．．．．．．．．．．．4分

（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DH ，即 AE⊥DH．．．．．．．．．．

∵△ADG≌△DCH ，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°

∴∠AGD+∠HDC=90°

∴DH⊥AG

又∵AE∩AG=A，∴DH⊥平面AEG．．．．．．．．．．．．8分

（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，得，又，所以平面，

所以，

又

所以    ．．．．．．．．．12分

考点：1.直线和平面平行的判定；2.直线和平面垂直的判定；3.三棱锥的体积求法