Question

设二次函数的图像过原点，，的导函数为，且，

（1）求函数，的解析式；

（2）求的极小值；

（3）是否存在实常数和，使得和若存在，求出和的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1），；（2）的极小值为；（3）存在这样的实常数和，且

【解析】

试题分析：（1）由二次函数的图像过原点可求，从而，由可解得，从而得；由可解得从而得；（2）由题可知，通过导函数可得的单调性，从而可得的极小值为；（3）根据题意可知，只须证明和的函数图像在切线的两侧即可，故求出函数在公共点(1,1)的切线方程，只须验证：，从而找到实数存在这样的实常数和，且.

试题解析：（1）由已知得，

则，从而，∴

，。

由 得，解得

。        4分

（2），

求导数得.        8分

在（0,1）单调递减，在（1,+）单调递增，从而的极小值为.

（3）因  与有一个公共点(1,1),而函数在点(1,1)的切线方程为.

下面验证都成立即可.

由 ，得，知恒成立.

设，即 ，

求导数得，

在(0,1)上单调递增，在上单调递减，所以 的最大值为，所以恒成立.

故存在这样的实常数和，且.        13分

考点：1.利用导数处理函数的单调性和最值；2.利用导数处理不等式恒成立问题；2.利用函数的单调性证明函数不等式