Question

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元．

（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的．

Answer

(Ⅰ)；(Ⅱ)当时，建造费用最小时当时，建造费用最小时.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)由圆柱和球的体积的表达式，得到l和r的关系．再由圆柱和球的表面积公式建立关系式，将表达式中的l用r表示．并注意到写定义域时，利用l≥2r，求出自变量r的范围；(Ⅱ)用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间（0，2]中，极值未必存在，将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论.

试题解析：（I）设容器的容积为V，由题意知

故

由于因此                           .3分

所以建造费用

因此                        ..5分

（II）由（I）得

由于    当

令;所以           .7分

（1）当时，

所以是函数y的极小值点，也是最小值点。            .10分

（2）当即时， 当函数单调递减，

所以r=2是函数y的最小值点，

综上所述，当时，建造费用最小时

当时，建造费用最小时                 13分

考点：1.函数解析式和定义域；2.函数模型的应用；3.函数最值的求法