Question

已知函数，．

（Ⅰ）设（其中是的导函数），求的最大值；

（Ⅱ）求证:当时，有；

（Ⅲ）设,当时,不等式恒成立，求的最大值.

Answer

（Ⅰ）取得最大值；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）整数的最大值是.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)通过求的导函数处理函数的单调性，从而确定在时，取得最大值；（Ⅱ）由(Ⅰ)可知当时，，从而有．（Ⅲ）先由当时,不等式恒成立转化为对任意恒成立,设，通过导函数求出的单调性从而得出，整数的最大值是.

试题解析：(Ⅰ),所以 ．  

当时，；当时，．

因此，在上单调递增，在上单调递减．

因此，当时，取得最大值；                  3分

（Ⅱ）当时，．由（1）知：当时，，即．

因此，有．      7分

（Ⅲ）不等式化为所以

对任意恒成立．令，

则，令，则，

所以函数在上单调递增．因为，

所以方程在上存在唯一实根，且满足．

当，即，当，即，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

所以．

所以．故整数的最大值是.         13分

考点：1.利用导数处理函数的单调性和最值；2.利用导数处理不等式恒成立问题