Question

已知函数，．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间上是减函数，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）或．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，，由导数的几何意义，先求，再利用点斜式求切线方程；（Ⅱ）先求得．令，得或．再分讨论，列不等式组求的范围．

试题解析：（Ⅰ）当时，，         1分

又，所以．             2分

又，所以所求切线方程为 ，即．所以曲线在点处的切线方程为．            5分

（Ⅱ）方法一：因为，令，得或．   6分

当时，恒成立，不符合题意．            7分

当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，

则解得．                9分

当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则，解得．                     11分

综上所述，实数的取值范围是或．           12分

（Ⅱ）方法二：．             6分

因为在区间上是减函数，所以在恒成立．       7分

因此                  9分

则                 11分

故实数的取值范围或．              12分

考点：1．导数的几何意义；2．利用导数研究函数的单调性．