Question

已知R，函数e．

（1）若函数没有零点，求实数的取值范围；

（2）若函数存在极大值，并记为，求的表达式；

（3）当时，求证：．

Answer

（1）；（2）；（3）详见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）令得，∴．再利用求实数的取值范围；（2）先解，得可能的极值点或，再分讨论得函数极大值的表达式；（3）当时，，要证 即证，亦即证，构造函数，利用导数证明不等式．

试题解析：(1)令得，∴．      1分

∵函数没有零点，∴，∴．         3分

(2)，令，得或．   4分

当时，则，此时随变化，的变化情况如下表：

当时，取得极大值；             6分

当时，在上为增函数，∴无极大值．      7分

当时，则，此时随变化，的变化情况如下表:

当时，取得极大值，∴    9分

(3)证明：当时，              10分

要证 即证，即证      11分

令，则．             12分

∴当时，为增函数；当时为减函数，时取最小值，，∴．

∴，∴．               14分

考点：1．函数的零点；2．函数的导数与极值；3．不等式的证明．