Question

设函数

（1）求的单调区间、最大值；

（2）讨论关于的方程的根的个数．

Answer

（1）函数的单调递增区间是；单调递减区间是；最大值为；（2）当时，关于的方程根的个数为0；当时，关于的方程根的个数为1；当时，关于的方程根的个数为2．

【解析】

试题分析：（1）函数的定义域为全体实数．先求函数的导数，解不等式得单调减区间，解不等式得单调增区间，进而求得最大值；（2）构造函数＝，利用导数求得的最小值，根据这个最小值大于零、等于零、小于零讨论方程的根的个数．

试题解析：（1）．               1分

由得．

当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴函数的单调递增区间是；单调递减区间是．            3分

∴的最大值为．              4分

（2）令＝．        5分

①当时，，∴．

∵，∴，∴在上单调递增．      7分

②当时，，，．

∵，∴，∴在（0,1）上单调递减．

综合①②可知，当时，．        9分

当即时，没有零点，故关于方程的根的个数为0；

当即时，只有一个零点，故关于方程的根的个数为1；   11分

当即时，当时，由（1）知．

要使，只需即．

当时，由(1)知．

要使，只需即，所以时，有两个零点  13分

综上所述

当时，关于的方程根的个数为0；

当时，关于的方程根的个数为1；

当时，关于的方程根的个数为2．         14分

考点：1．函数的导数与单调性、最值；2．函数与方程．