Question

已知函数满足对任意实数都有成立，且当时，,.

（1）求的值；

（2）判断在上的单调性，并证明；

（3）若对于任意给定的正实数，总能找到一个正实数，使得当时，，则称函数在处连续。试证明：在处连续．

Answer

（1）；（2）在上单调递增; （3）详见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）利用求，可得；（2）利用函数单调性的定义：设，则，，从而在上单调递增; （3）利用赋值法先求．要证，对，当时，取，则当,即时，由单增可得，即；当时，必，使得，取，利用证明．

试题解析：（1） ；

（2）设，则，，在上单调递增；

（3）令，得，．对任意，，，，又，，要证，对，当时，取，则当，即时，由单增可得，即；当时，必，使得，取，则当，即时，有，而，，．

综上，在处连续．

考点：1．赋值法求抽象函数的函数值；2．抽血函数的单调性；3．抽象函数的连续性．