Question

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．

（Ⅰ）求证：平面⊥平面；

（Ⅱ）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）异面直线与所成角的余弦值为

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证两平面垂直，先证一个面内的一条直线垂直另一个平面.

在本题中可证得：平面，也可证：⊥平面．

（Ⅱ）法一、由（Ⅰ）题可得：直线、、两两垂直，故可以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线与所成角的余弦值．

法二、可过作的平行线，从而将异面直线与所成角转化相交直线所成的角.

试题解析：（Ⅰ）法一：为的中点，

又即

∴四边形为平行四边形，

      即

又∵平面平面   且平面平面

平面

又平面，∴平面平面                     6分

法二：，，为的中点，∴且.

∴四边形为平行四边形，∴

∵  ∴即

∵   ∴ 

∵ ，

∴⊥平面．

∵ 平面，

∴平面⊥平面．                6分

（Ⅱ）∵，为的中点，

∴．

∵平面平面   且平面平面

∴平面．                                           8分

（注:不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）

如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则，，，，

∵是中点，∴   

∴

设异面直线与所成角为

则=

∴异面直线与所成角的余弦值为                      14分

法二、连接交于点，连接，则

所以就是异面直线与所成角

由（1）知平面，所以进而

考点：1、面面垂直的判定与性质；2、线面垂直的判定；3、异面直线所成的角；4、空间向量的运算