Question

已知函数

（1）当时，试讨论函数的单调性；

（2）证明：对任意的 ，有.

Answer

（1）①时，在（0,1）是增函数，在是减函数；

②时，在（0,1），是增函数，在是减函数；

③时，在是增函数.

（2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）求导数得到，而后根据两个驻点的大小比较，分以下三种情况讨论.

①时，在（0,1）是增函数，在是减函数；

②时，在（0,1），是增函数，在是减函数；

③时，在是增函数.

（2）注意到时，在是增函数

当时，有.从而得到：对任意的，有

通过构造，并放缩得到

利用裂项相消法求和，证得不等式。涉及数列问题，往往通过“放缩、求和”转化得到求证不等式.

试题解析：（1）      1分

①时，在（0,1）是增函数，在是减函数；        3分

②时，在（0,1），是增函数，在是减函数；      5分

③时，在是增函数.      6分

（2）由（1）知时，在是增函数

当时，.

对任意的，有

                  8分

                  10分

所以

                     12分

考点：应用导数研究函数的单调性，应用导数证明不等式，“裂项相消法”求和.