Question

已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若对任意，函数在上都有三个零点，求实数的取值范围．

Answer

（1）详见解析；（2）实数的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）求出导数，并求出导数的零点与，就两零点的大小进行分类讨论，从而得到在相应条件下函数的单调递增区间；（2）利用（1）中结论，将函数在上有三个零点这一条件等价转化为和同时成立，列出相应的不等式，利用参数的取值范围，将视为相应的自变量，转化以为参数的不等式，结合恒成立的思想求出参数的取值范围.

试题解析：（1）∵，∴．

当时， 函数没有单调递增区间；

当时，令，得．函数的单调递增区间为；

当时，令，得． ，函数的单调递增区间为．  …6分

（2）由（1）知，时，的取值变化情况如下：

0

0

极小值

极大值

∴，，                8分

∵对任意， 在上都有三个零点，

∴，即得…10分

∵对任意，恒成立，∴

∴实数的取值范围是．            12分

考点：1.利用导数求函数的单调区间；2.函数的零点个数