Question

已知函数，是否存在实数a、b、c，使同时满足下列三个条件：（1）定义域为R的奇函数；（2）在上是增函数；（3）最大值是1．若存在，求出a、b、c；若不存在，说明理由.

Answer

【解析】

试题分析：先利用函数是定义域为的奇函数，利用以及定义求出的值以及确定与的关系，然后利用复合函数的单调性将问题转化为内层函数在上是增函数进行处理，结合导数来解决，由此确定的正负，最后在根据上一步的结论并根据函数的最大值为求出与的值，从而使问题得到解答.

试题解析：是奇函数               3分

又，即，

∴．

∴或，但时，，不合题意；故． …6分

这时在上是增函数，且最大值是1．

设在上是增函数，且最大值是3．

，

当时，故；     8分

又当时，；当时，；

故，又当时，，当时，．

所以在是增函数，在（－1，1）上是减函数．       10分

又时，时最大值为3．    11分

∴经验证：时，符合题设条件，

所以存在满足条件的a、b、c，即                 14分

考点：1.函数的奇偶性；2.复合函数的单调性；3.函数的最值