Question

已知函数，曲线上是否存在两点，使得△是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上.如果存在，求出实数的范围；如果不存在，说明理由.

Answer

存在，且实数的取值范围是.

【解析】

试题分析：先将斜边的中点在轴上这一条件进行转化，确定点与点之间的关系，并将是以点为直角顶点条件转化为，进行得到一个方程，然后就这个方程在定义域上是否有解对自变量的取值进行分类讨论，进而求出参数的取值范围.

试题解析：假设曲线上存在两点、满足题意，则、两点只能在轴两侧，

因为是以为直角顶点的直角三角形，所以，

不妨设，则由的斜边的中点在轴上知，且，

由，所以   （*）

是否存在两点、满足题意等价于方程（*）是否有解问题，

（1）当时，即、都在上，则，

代入方程（*），得，即，而此方程无实数解；

（2）当时，即在上，在上，

则，代入方程（*）得，，即，

设，则，

再设，则，所以在上恒成立，

在上单调递增，，从而，故在上也单调递增，

所以，即，解得，

即当时，方程有解，即方程（*）有解，

所以曲线上总存在两点、，使得是以为直角顶点的直角三角形，

且此三角形斜边的中点在轴上，此时.

考点：1.平面向量垂直；2.函数的零点