Question

已知函数.

（1）若，当时，求的取值范围；

（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的反函数；

（3）对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）这实质上是解不等式，即，但是要注意对数的真数要为正，，；（2）上奇函数满足，可很快求出，要求在上的反函数，必须求出在上的解析式，根据的定义，在上也应该是一个分段函数，故我们必须分别求出表达式，然后分别求出其反函数的表达式；（3）根据已知可知是周期为4的周期函数，不等式在上恒成立，求参数的取值范围问题，一般要研究函数的的单调性，利用单调性，可直接去掉函数符号，由已知，我们可得出在上是增函数，在上是减函数，又，而可无限趋近于，因此时，题中不等式恒成立，就等价于，现在我们只要求出的范围，而要求的范围，只要按的正负分类即可．

试题解析：（1）原不等式可化为    1分

所以，，         1分

得                 2分

（2）因为是奇函数，所以，得     1分

①当时，

             1分

此时，，所以      1分

②当时，，   1分

此时，，所以   1分

综上，在上的反函数为        1分

（3）由题意，当时，，在上是增函数，

当，，在上也是增函数，

所以在上是增函数，               2分

设，则

由，得

所以在上是减函数，       2分

由的解析式知      1分

设

①当时，，因为，所以，即；

②当时，，满足题意；

③当时，，因为，所以，即

综上，实数的取值范围为                3分

考点：(1)对数不等式；（2）分段函数的反函数；（3）不等式恒成立问题．