Question

已知函数.

（1）当时，指出的单调递减区间和奇偶性（不需说明理由）；

（2）当时，求函数的零点；

（3）若对任何不等式恒成立，求实数的取值范围。

Answer

（1）递减区间为，函数既不是奇函数也不是偶函数；（2）或；（3）．

【解析】

试题分析：（1）时，作出函数的图象，如下图，即可得出结论．

（2）实际上就是解方程，只不过在解题时，首先要分类讨论（分和），其次还要注意的是，否则会得出错误结果；本题也可由求出方程的正的零点（这可利用（1）的结论很快解决），然后令等于这些值，就可求出；（3）不等式恒成立求参数取值范围问题，一般把问题转化如转化为求函数的值域（或最值）或者利用不等式的性质，本题参数可以分离，在时，不论取何值，不等式都成立，在时，可转化为，即，下面只要求出的最大值和的最小值．

试题解析：1）当时，函数的单调递减区间为（2分）

函数既不是奇函数也不是偶函数（4分）

（2）当，（1分）

由得   （2分）

即（4分）

解得  (5分)

所以或   （6分）

（3）当时，取任意实数，不等式恒成立，

故只需考虑，此时原不等式变为  （1分）

即

故    （2分）

又函数在上单调递增， （3分）

函数在上单调递减，在上单调递增，（4分）

；（5分）

所以，即实数的取值范围是 （6分）

考点：（1）函数单调区间与奇偶性；（2）解超越方程；（3）不等式恒成立问题．