Question

已知数列具有性质：①为正数；②对于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若成等差数列，求的值；

(3)设，数列的前项和为，求证：

Answer

（1）；(2) 2；（3）证明见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）由于64不算大，可以依次计算出，因为按照定义，，而此开始，故可得出通项公式；（2）显然必须是整数，而且要计算，因此我们可以根据的值分类讨论（分成四类）．（3）

要证不等式，最好能求出，那么也就要求出数列的各项，那么我们根据数列定义，由为奇数，则为偶数，为奇数，接下来各项都是偶数，一起到某项为1，下面一项为0，以后全部为0．实际上项为1的项是第项，且时，

时，因此是最大的，但在计算时，要注意当时，，只要它不为0，就可继续下去．

试题解析：（1）由，可得，，…，，，，，…，

即的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0． （2分）

故数列的通项公式为．      （4分）

（2）若时，，，

由成等差数列，可知即，解得，故；(舍去)

若时，，，

由成等差数列，可知，解得，故；(舍去)（3分）

若时，，，

由成等差数列，可知，解得，故；

若时，，，

由成等差数列，可知，解得，故；(舍去)

∴的值为2．                           （6分）

（3）由（），可得，

，，

若，则是奇数，从而，

可得当时，成立．             （3分）

又，，…

故当时，；当时，．            （5分）

故对于给定的，的最大值为

，

故．                       （8分）

考点：（1）数列的通项公式（分段函数形式）；（2）等差数列与分类讨论；（3）数列的前项和与最大值．