Question

已知函数.

（1）当时，判断的奇偶性，并说明理由；

（2）当时，若，求的值；

（3）若，且对任何不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）既不是奇函数，也不是偶函数；（2）所以或；（3）当时，的取值范围是，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是．

【解析】

试题分析：（1）时，为确定的函数，要证明它具有奇偶性，必须按照定义证明，若要说明它没有奇偶性，可举一特例，说明某一对值与不相等（不是偶函数）也不相反（不是奇函数）．（2）当时，为，这是含有绝对值符号的方程，要解这个方程一般是分类讨论绝对值符号里的式子的正负，以根据绝对值定义去掉绝对值符号，变成通常的方程来解．（3）不等式恒成立时要求参数的取值范围，一般要把问题进行转化，例如分离参数法，或者转化为函数的最值问题．即为，可以先把绝对值式子解出来，这时注意首先把分出来，然后讨论时，不等式化为，于是有，即，这个不等式恒成立，说明，这时我们的问题就转化为求函数的最大值，求函数的最小值．

试题解析：（1）当时，既不是奇函数也不是偶函数（2分）

所以既不是奇函数，也不是偶函数   （4分）

（2）当时，，

由得  （1分）

即  （3分）

解得   （5分）

所以或    （6分）

（3）当时，取任意实数，不等式恒成立，

故只需考虑，此时原不等式变为 （1分）

即

故      

又函数在上单调递增，所以；（2分）

对于函数

①当时，在上单调递减，，又，

所以，此时的取值范围是（3分）

②当，在上，，

当时，，此时要使存在，

必须有，此时的取值范围是（4分）

综上，当时，的取值范围是

当时，的取值范围是；

当时，的取值范围是    （6分）

考点：（1）函数的奇偶性；（2）含绝对值的方程；（2）含参数的不等式恒成立问题．