Question

已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，.

（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；

（2）设(且N)，数列的前项和为，求证：；

（3）若为正整数，求证：当(N)时，都有.

Answer

(1) 0或2；（2）证明见试题解析；（3）证明见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）根据数列具有性质，为偶数，要，这时要求，必须讨论的奇偶性，分类讨论；（2）要证不等式，最好能求出，那么也就要求出数列的各项，那么我们根据数列定义，由为奇数，则为奇数，为偶数，接下来各项都是偶数，一起到某项为1，下面一项为0，以后全部为0．实际上项为1的项是第项（成等比数列），故可求；（3）由于是正整数，要证明从某一项开始，数列各项均为0，这提示我们可首先证明为非负（这可用数学归纳法加以证明），然后由于数列的关系，可见数列在出现0之前，是递减的，下面要考虑的是递减的速度而已．当为偶数时，；当为奇数时，，因此对所有正整数，都有，依此类推有，只要，则有．

试题解析：（1）∵为偶数，∴可设，故，

若为偶数，则，由成等差数列，可知，

即，解得，故；    （2分）

若为奇数，则，由成等差数列，可知，

即，解得，故；

∴的值为0或2．      （4分）

（2）∵是奇数，∴，

，，依此类推，

可知成等比数列，且有，

又，，，

∴当时，；当时，都有．        （3分）

故对于给定的，的最大值为

，所以．  （6分）

（3）当为正整数时，必为非负整数．证明如下：

当时，由已知为正整数， 可知为非负整数，故结论成立；

假设当时，为非负整数，若，则；若为正偶数，

则必为正整数；若为正奇数，则必为非负整数．

故总有为非负整数． （3分）

当为奇数时， ；当为偶数时，．

故总有，所以，

当时，，即．（ 6分）

又必为非负整数，故必有． （8分）

【另法提示：先证“若为整数，且，则也为整数，且”，然后由是正整数，可知存在正整数，使得，由此推得，，及其以后的项均为０，可得当时，都有】

考点：（1）递推数列与等差数列；（2）数列的前项和；（3）数列的通项与综合问题．