Question

如图，正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，为棱的中点．

（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）求该三棱锥的体积．

Answer

(1) ；（2）．

【解析】

试题分析：（1）求异面直线所成的角，一般是按照定义作出这个角，即作平行线，把空间角化为平面角，通过解三角形来处理，而作平行线，一般都是过异面直线中一条上的某点作一条的平行线，如本题中有是的中点，我们只要取中点，则就有∥，（或其补角）就是所求；（2）要求棱锥体积，就要求出底面积（本题底面是正三角形，面积易求）和高，正棱锥中我们知道棱锥的高，侧棱，侧棱在底面上的射影构成一个直角三角形，可在这个直角三角形中求出正棱锥的高．

试题解析：（1）取中点，连结、，因为∥，所以就是异面直线与所成的角（或其补角）．          （2分）

在△中，，，       （1分）

所以．          （2分）

所以，异面直线与所成的角的大小为．     （1分）

（2）作平面，则是正△的中心，     （1分）

连结，，           （1分）

所以，           （1分）

所以，．      （2分）

考点：（1）异面直线所成的角；（2）棱锥的体积．