Question

已知函数和的图像关于原点对称，且．

（1）求函数的解析式；

（2）解不等式；

（3）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．

Answer

(1) ；(2) 解集为；(3) ．

【解析】

试题分析：(1)两个函数的图象关于某点或某条直线对称，一般设待求解析式的函数图象上任一点的坐标为，求出这点的对称点的坐标，当然这里是用表示的式子，然后把点代入已知解析式，就能求出结论；(2)这是含有绝对值的不等式，解题时，一般按照绝对值的定义分类讨论以去掉绝对值符号，便于解题；(3) ，这是含参数的二次函数，解题时，首先对二次项系数分类，即分二次项系数为0，不为0，其中不为0还要分为是正数，还是负数进行讨论，在二次项系数不为0时，只要讨论其对称轴与给定区间的关系就能求得结论．

试题解析：（1）设是函数图像上任一点，则关于原点对称的点在函数的图像上，           （1分）

所以，故．     （2分）

所以，函数的解析式是．     （1分）

（2）由，得，    （1分）

即．      （1分）

当时，有，△，不等式无解；   （1分）

当时，有，，解得．  （2分）

综上，不等式的解集为．       （1分）

（3）．  （1分）

①当时，在区间上是增函数，符合题意．   （1分）

②当时，函数图像的对称轴是直线．    （1分）

因为在区间上是增函数，所以，

1）当时，，函数图像开口向上，故，

解得；                 （1分）

2）当时，，函数图像开口向下，故，解得． （1分）

综上，的取值范围是．      （1分）

考点：(1)函数图象的对称问题；(2)含绝对值的不等式；(3)函数的单调性．