Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过作方向向量的直线交椭圆于、两点，求证：为定值．

Answer

（1）；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）已知椭圆的长轴长，就是已知，那么在椭圆的标准方程中还有一个参数，正好椭圆过点，把这个点的代入椭圆标准方程可求出，得椭圆方程；（2）这是直线与椭圆相交问题，考查同学们的计算能力，给定了直线的方向向量，就是给出了直线的斜率，只要设动点的坐标为，就能写出直线的方程，把它与椭圆方程联立方程组，可求出两点的坐标，从而求出的值，看它与有没有关系（是不是常数），当然在求时，不一定要把两点的坐标直接求出（如直接求出，对下面的计算没有帮助），而是采取设而不求的思想，即设，然后求出，，而再把用，表示出来然后代入计算，可使计算过程简化．

试题解析：（1） 因为的焦点在轴上且长轴为，

故可设椭圆的方程为（），             （1分）

因为点在椭圆上，所以，                （2分）

解得，       （1分）

所以，椭圆的方程为．                       （2分）

（2）设（），由已知，直线的方程是，   （1分）

由  （*）           （2分）

设，，则、是方程（*）的两个根，

所以有，，                  （1分）

所以，

（定值）．               （3分）

所以，为定值．                      （1分）

（写到倒数第2行，最后1分可不扣）

考点：(1)椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交问题．