Question

已知函数（为实常数）．

（1）若函数图像上动点到定点的距离的最小值为，求实数的值；

（2）若函数在区间上是增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围；

（3）设，若不等式在有解，求的取值范围．

Answer

（1）或；（2）；（3）当时，；

当时，．

【解析】

试题分析：（1）点是函数上的点，因此我们设点坐标为，这样可把表示为关于的函数，而其最小值为2，利用不等式的知识可求出，即点坐标，用基本不等式时注意不等式成立的条件；（2）题目已经要求我们用函数单调性的定义求解，因此我们直接用定义，设，则函数在上单调递增，说明恒成立，变形后可得恒成立，即小于的最小值（如有最小值的话），事实上，故；（3）不等式在有解，则，因此大于或等于的最小值，下面我们要求的最小值，而，可以看作是关于的二次函数，用换元法变为求二次函数在给定区间上的最小值，注意分类讨论，分类的依据是二次函数的对称轴与给定区间的关系．

试题解析：（1）设，则，

                   （1分）

，                （1分）

当时，解得；当时，解得．     （1分）

所以，或．                    （1分）

 （只得到一个解，本小题得3分）

（2）由题意，任取、，且，

则，  （2分）

因为，，所以，即，        （2分）

由，得，所以．

所以，的取值范围是．                        （2分）

（3）由，得，

因为，所以，                   （2分）

令，则，所以，令，，

于是，要使原不等式在有解，当且仅当（）．  （1分）

因为，所以图像开口向下，对称轴为直线，

因为，故当，即时，； （4分）

当，即时，．           （5分）

综上，当时，；

当时，．                       （6分）

考点：（1）两点间的距离公式与基本不等式；（2）函数的单调性；（3）不等式有解问题．