Question

给定椭圆，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是.

（1）若椭圆C上一动点满足，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；

（2）在（1）的条件下，过点作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，求P点的坐标；

（3）已知，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）椭圆方程，伴随圆方程；（2）；（3）存在，．

【解析】

试题分析：（1）这是基本题，题设实质已知，要求椭圆标准方程，已知圆心及半径求圆的方程；（2）为了求点坐标，我们可设直线方程为，直线与椭圆只有一个公共点，即直线的方程与椭圆的方程联立方程组，这个方程组只有一个解，消元后利用可得的一个方程，又直线截圆所得弦长为，又得一个关于的方程，联立可解得；（3）这是解析几何中的存在性问题，解决方法都是假设存在，然后去求出这个，能求出就说明存在，不能求出就说明不存在．解法如下，写出过点的直线方程，求出圆心到这条直线的距离为，可见当圆半径不小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为0，即当时，，但由于，无解，当圆半径小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为，由此得，又有，可解得，故存在．

试题解析：（1）由题意：，则，所以椭圆的方程为，  2分

其“伴随圆”的方程为．         4分

（2）设直线的方程为

由得       6分

 则有得， ①      7分

由直线截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，可得

，得  ②          8分

 由①②得，又，故，所以点坐标为．   10分

（3）过的直线的方程为：，

即，得        12分

 由于圆心到直线的距离为

，             14分

当时，，但，所以，等式不能成立；

当时，，

由得所以

因为，所以，

得．所以           18分