Question

称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：

①；②.

（1）若数列的通项公式是，

试判断数列是否为2014阶“期待数列”，并说明理由；

（2）若等比数列为阶“期待数列”，求公比q及的通项公式；

（3）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；

Answer

（1）是；

（2）．或；

（3）；

【解析】

试题分析：（1）判断数列是不是为2014阶“期待数列”，就是根据定义计算，，是不是一个为0，一个为1，如是则是“期待数列”，否则就不是；（2）数列中等比数列，因此是其前和，故利用前前项和公式，分和进行讨论，可很快求出，或；（3）阶等差数列是递增数列，即公差，其和为0，故易知数列前面的项为负，后面的项为正，即前项为正，后项为正，因此有，，这两式用基本量或直接相减可求得，，因此通项公式可得．

试题解析：（1）因为，          2分

 所以

，

所以数列为2014阶“期待数列”           4分

（2）①若，由①得，，得，矛盾．     5分

若，则由①=0，得，     7分

由②得或．

所以，．数列的通项公式是

或            9分

（3）设等差数列的公差为，>0．

∵，∴，∴，

∵>0，由得，，         11分

由①、②得，，     13分

两式相减得，，  ∴，

又，得，

∴数列的通项公式是．  16分

考点：（1）三角函数的诱导公式与新定义的理解；（2）等比数列的前和公式与通项公式；（3）等差数列的前和公式与通项公式．