Question

称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：

①；②.

（1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比q及的通项公式；

（2）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；

（3）记n阶“期待数列”的前k项和为：

（i）求证：；

（ii）若存在使，试问数列能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.

Answer

（1）．或；

（2）；

（3）（i）证明见解析；（ii）不能，证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）数列中等比数列，因此是其前和，故利用前前项和公式，分和进行讨论，可很快求出，或；（2）阶等差数列是递增数列，即公差，其和为0，故易知数列前面的项为负，后面的项为正，即前项为正，后项为正，因此有，，这两式用基本量或直接相减可求得，，因此通项公式可得；（3）（i）我们只要把数列中所有非负数项的和记为，所有负数项的记为，则，不可能比小，同样不可能比大，即，得证；（ii）若，则一定有，，且，若数列为n阶“期待数列”，设其前项和为，首先，而，，因此，即，，从而，于是，那么，矛盾出现了，故结论是否定的．

试题解析：（1）①若，由①得，，得，矛盾．     1分

若，则由①=0，得，     3分

由②得或．

所以，．数列的通项公式是

或            4分

（2）设等差数列的公差为，>0．

∵，∴，∴，

∵>0，由得，，

由①、②得，，     6分

两式相减得，，  ∴，

又，得，

∴数列的通项公式是．  9分

（3）记中所有非负项的和为A，所有负数项的和为B，

则，，解得，

（i），即．         12分

（ii）若存在，使，由前面的证明过程知：

且，         14分

如果是阶“期待数列”，

记数列的前项和为，

则由（i）知，，

，而，

，从而，，

又，

则，         16分

，

与不能同时成立，

所以，对于有穷数列，若存在使，则数列的和数列不能为阶“期待数列”．         18分

考点：（1）等比数列的前和公式与通项公式；（2）等差数列的前和公式与通项公式；（3）数列综合题．