Question

定义在上的函数，如果对任意，恒有（，）成立，则称为阶缩放函数.

（1）已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求的值；

（2）已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求证：函数在上无零点；

（3）已知函数为阶缩放函数，且当时，的取值范围是，求在（）上的取值范围.

Answer

（1）1；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：(1)本小题首先利用函数为二阶缩放函数，所以，于是由得，，由题中条件得；

(2)本小题首先对时，，得到，方程或，与均不属于（），所以当时，方程无实数解，所以函数在上无零点；

(3)本小题针对，时，有，依题意可得，然后通过分析可得取值范围为.

试题解析：（1）由得，      2分

由题中条件得        4分

（2）当时，，依题意可得：

。  6分

方程或，

与均不属于（）  8分

当（）时，方程无实数解。

注意到，所以函数在上无零点。 10分

（3）当，时，有，依题意可得：

当时，的取值范围是 12分

所以当，时，的取值范围是。 14分

由于 16分

所以函数在（）上的取值范围是：

。 18分

考点：1.新定义；2.函数的单调性.