Question

定义在上的函数，如果对任意，恒有（，）成立，则称为阶缩放函数.

（1）已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求的值；

（2）已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求证：函数在上无零点；

（3）已知函数为阶缩放函数，且当时，的取值范围是，求在（）上的取值范围.

Answer

（1）1；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：(1) 本小题首先利用函数为二阶缩放函数，所以，于是由得，，由题中条件得；

 (2)本小题首先对（）时，，得到，方程或，与均不属于，当（）时，方程无实数解；

(3)本小题针对，时，有，依题意可得，然后通过分析可得取值范围为.

试题解析：（1）由得，      2分

由题中条件得        4分

（2）当（）时，，依题意可得：

  6分

方程或，与均不属于  8分

当（）时，方程无实数解。

注意到

所以函数在上无零点。  10分

（3）当，时，有，依题意可得：

当时，的取值范围是 12分

所以当，时，的取值范围是。 14分

由于 16分

所以函数在（）上的取值范围是：

。 18分

考点：1.新定义；2.函数的单调性.