Question

已知函数.

（1）若，当时，求的取值范围；

（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的反函数；

（3）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）这实质上是解不等式，即，但是要注意对数的真数要为正，，；（2）上奇函数满足，可很快求出，要求在上的反函数，必须求出在上的解析式，当时，，故，当然求反函数还要求出反函数的定义域即原函数的值域；（3）可转化为，这样利用对数函数的性质得，变成了整式不等式，问题转化为不等式在区间上有解，而这个问题通常采用分离参数法，转化为求相应函数的值域或最值．

试题解析：（1）原不等式可化为       1分

所以，，            1分

得                    2分

（2）因为是奇函数，所以，得       1分

当时，

      2分

此时，，所以       2分

（3）由题意，         1分

即                    1分

所以不等式在区间上有解，

即                 3分

所以实数的取值范围为       1分

考点：(1)对数不等式；（2）分段函数的反函数；（3）不等式有解问题．