Question

某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．

(1)求抛物线方程；

(2)求证：．

Answer

(1)；(2)证明见解析

【解析】

试题分析：(1)抛物线焦点在轴上，其标准方程为，其中焦点坐标为，故，，因此抛物线方程为；(2)实质上是要求的长，为此我们设，则点坐标为，利用点在抛物线上，代入可得出关于的二次方程，解方程求出线段长应该为正，故有，得证.

试题解析：（1）由抛物线焦点得,抛物线方程为

（2）设，则点

所以，，既

解得:

同理：

“蝴蝶形图案”的面积

令, 

则,  时,即“蝴蝶形图案”的面积为8.

考点：(1)抛物线的标准方程；(2)圆锥曲线综合问题.