Question

已知数列，是其前项的和，且满足，对一切都有成立，设．

（1）求；

（2）求证：数列 是等比数列；

（3）求使成立的最小正整数的值．

Answer

(1);(2)证明见解析；(3)5.

【解析】

试题分析：(1)只求，只要在中令民，则有，而，故；(2)要证明数列 是等比数列，就是要证明为非零常数，因此首先要找到与的关系，这由已知式中用代换可得，两式相减，得，这个式子中只要把用代换即可得结论，当然说明，且要计算出，才能说明 是等比数列；(3) 只要把和式求出，它是一个等比数列的和，故其和为，然后解不等式，可得，从而得出最小值为5.

试题解析：(1) 由及   当时

故

(2)由及

得 ，故，

即，当时上式也成立,

,故是以3为首项，3为公比的等比数列

(3) 由（2）得

故 解得，最小正整数的值5

考点：(1)数列的项；(2)等比数列的定义；(3)等比数列的前项和.