Question

已知椭圆：.

(1)椭圆的短轴端点分别为(如图)，直线分别与椭圆交于两点，其中点满足，且.

①证明直线与轴交点的位置与无关；

②若∆面积是∆面积的5倍，求的值；

(2)若圆:.是过点的两条互相垂直的直线,其中交圆于、两点,交椭圆于另一点.求面积取最大值时直线的方程.

Answer

(1)①交点为；②；(2) .

【解析】

试题分析：(1)①本题方法很容易想到，主要考查计算推理能力，写出直线的方程，然后把直线方程与椭圆方程联立，求得点坐标，同理求得点坐标，从而得到直线的方程，令，求出，与无关；②两个三角形∆与∆有一对对顶角和，故面积用公式，表示，那么面积比就为，即，这个比例式可以转化为点的横坐标之间(或纵坐标)的关系式，从而 求出；(2)仍采取基本方法，设的方程为，则的方程为，直线与圆相交于，弦的长可用直角三角形法求，(弦心距，半径，半个弦长构成一个直角三角形)，的高为是直线与椭圆相交的弦长，用公式来求，再借助于基本不等式求出最大值及相应的值，也即得出的方程.

试题解析：（1）①因为,M (m,)，且，

直线AM的斜率为k1=,直线BM斜率为k2=,

直线AM的方程为y= ,直线BM的方程为y=,

由得，

由得，

；

据已知，，

直线EF的斜率

直线EF的方程为  ,

令x=0,得 EF与y轴交点的位置与m无关.

②,,,

,，,

 ，

整理方程得，即，

又有，， ， 为所求.

(2) 因为直线,且都过点,所以设直线,

直线,

所以圆心到直线的距离为,

所以直线被圆所截的弦；

由,所以

  所以

所以

当时等号成立,

此时直线

考点：(1)①动直线中的定点问题；②三角形的面积，线段比与点的坐标之间的关系；(2)直线与圆相交弦长，直线与椭圆相交的弦长，基本不等式.