Question

已知向量，，其中.函数在区间上有最大值为4,设.

(1)求实数的值；

(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer

(1)1;(2) .

【解析】

试题分析：（1）通过向量的数量积给出，利用数量积定义求出，发现它是二次函数，利用二次函数的单调性可求出；（2）由此，不等式在上恒成立，观察这个不等式，可以用换元法令，变形为在时恒成立，从而，因此我们只要求出的最小值即可．下面我们要看是什么函数，可以看作为关于的二次函数，因此问题易解．

试题解析：（1）由题得

 又开口向上，对称轴为，在区间单调递增，最大值为4,

  所以，

（2）由（1）的他，

令,则 以可化为,

即恒成立,

且,当,即时最小值为0,

考点：（1）二次函数的单调性与最值；（2）换元法与二次函数的最小值．