Question

设是数列的前项和，对任意都有成立， (其中、、是常数)．

（1）当，，时，求；

（2）当，，时，

①若，，求数列的通项公式；

②设数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“数列”.

如果，试问：是否存在数列为“数列”，使得对任意，都有

，且．若存在，求数列的首项的所

有取值构成的集合；若不存在，说明理由．

Answer

(1)=；(2)①；②存在，首项的所有取值构成的集合为.

【解析】

试题分析：(1)要求，大多数时候要先求，本题实质就是有关系式，那么我们可以用代得，两式相减，可得出与的关系，本题正好得到数列是等比数列，故易求得和；(2) 实质上的关系式是，这让我们联想到数列是等差数列，这里难点就在于证明是等差数列，证明方法是把等式中的用换得到一个式子，两式相减可得，此式中含有常数，故再一次用代换此式中的，两式相减可消去得数列的连续三项的关系，可证得是等差数列，那么这里①的通项公式易求；对于②这类问题总是假设存在，然后去求，假设存在时，可知数列公差是2，即，由于它是“数列”，故任意两项和还是数列中的项，即，可得是偶数，又由，得，娵，从而，下面对的值一一验证是否符合已知条件，

试题解析：（1）当，，时，由得

                        ①

 用去代得，，   ②

 ②—①得，，，

 在①中令得，，则0，∴，

∴数列是以首项为1，公比为3的等比数列，

∴=

（2）当，，时，

，                           ③

用去代得，，  ④

④—③得，       ，      ⑤

用去代得，，       ⑥

⑥—⑤得，，即，

∴数列是等差数列.∵，，

∴公差，∴

易知数列是等差数列，∵，∴.

又是“数列”，得：对任意，必存在使

，

得，故是偶数，

又由已知，，故

一方面，当时，，对任意，

都有

另一方面，当时，，，

则，

取，则，不合题意.

当时，，，则

，

当时，，，

，

又，∴或或或

所以，首项的所有取值构成的集合为

（其他解法,可根据【解】的评分标准给分）

考点：(1)已知与的关系，求和；(2)等差数列的通项公式，前项和.