Question

已知圆过定点，圆心在抛物线上，、为圆与轴的交点．

（1）当圆心是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长．

（2）当圆心在抛物线上运动时，是否为一定值？请证明你的结论．

（3）当圆心在抛物线上运动时，记，，求的最大值，并求出此时圆的方程．

Answer

（1）；（2）是定值，为2；（3）取得最大值，此时圆的方程为．

【解析】

试题分析：（1）这是关于圆的基本计算问题，圆心是抛物线的顶点，又圆过点，可得圆半径为，就得出了圆的方程，抛物线的准线为，与圆相交弦长可用直角三角形法求解，弦心距，弦的一半，相应半径可构成一个直角三角形，应用勾股定理易得；（2）圆心在抛物线上运动，可设圆心坐标为，与（1）同法可得弦长，当然本题中弦在轴上，故可在圆方程中令，求出，也即求出为定值；（3）根据圆的性质，由（2）可得两点的坐标为，这样就可用来表示，可求得，时，有，时，利用基本不等式有，从而（当且仅当，即时等号成立），故所求最大值为．

试题解析：（1）抛物线的顶点为，准线方程为，圆的半径等于1，圆的方程为．弦长         4分

（2）设圆心，则圆的半径，

圆的方程是为：    6分

令，得，得，，

是定值．      8分

（3）由（2）知，不妨设，，，．

．      11分

当时，．      12分

当时，．

当且仅当时，等号成立          14分

所以当时，取得最大值，此时圆的方程为．

            16分

考点：（1）抛物线的几何性质，圆的弦长公式；（2）圆的弦长；（3）基本不等式与最大值问题．