Question

设函数．

（1）求函数在上的值域；

（2）证明对于每一个，在上存在唯一的，使得；

（3）求的值．

Answer

(1) ；（2）证明见解析；（3）当时，为，当且时，为．

【解析】

试题分析：(1)由于可以看作为的二次函数，故可利用换元法借助二次函数知识求出值域；（2）这类问题的常用方法是证明在区间是单调的，且或者或，即可得证；本题中证时也可数学归纳法证明；（3）要求的值，注意分类讨论，时直接得结论，那么求时，只要用分组求和即可，在时，中除第一项外是一个公比不为1的等比数列的和，因此先求出

，同样在求时用分组求和的方法可求得结论．

试题解析：（1），由 令，．

，在上单调递增，在上的值域为．     4分

（2）对于，有，，从而，,,在上单调递减, ,在上单调递减．

又.

.      7分

当时，

（注用数学归纳法证明相应给分）

又，即对于任意自然数有

对于每一个，存在唯一的，使得      11分

（3）．

当时，．

.      14分

当且时，．

     18分

考点：(1)换元法与二次函数的值域；（2）函数的零点；（3）分类讨论与分组求和．